与えられた対数関数の値を計算したり、対数式を簡単にしたり、常用対数を用いて数値の桁数や最高位の数字を求めたり、光線の減衰に関する問題を解く。

1. 問題の内容

与えられた対数関数の値を計算したり、対数式を簡単にしたり、常用対数を用いて数値の桁数や最高位の数字を求めたり、光線の減衰に関する問題を解く。

2. 解き方の手順

以下、問題番号順に解き方を説明する。

問31

(1) $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

(2) $\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{\frac{1}{2}} = \log_3 (3^3)^{\frac{1}{2}} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

(3) $\log_9 \frac{1}{27} = \log_{3^2} 3^{-3} = -\frac{3}{2}\log_3 3 = -\frac{3}{2}$

(4) $2^{\log_2 3} = 3$

(5) $25^{-\log_5 3} = (5^2)^{-\log_5 3} = 5^{-2\log_5 3} = 5^{\log_5 3^{-2}} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

問32

(1) $\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4 = \log_2 \frac{8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{4} = \log_2 \frac{2}{\sqrt{2}} = \log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

(2) $\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6} = \log_3 \frac{\frac{27}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{6}}{18} = \log_3 \frac{54\sqrt{6}}{18\sqrt{2}} = \log_3 3\sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

(3) $\log_2 3 \cdot \log_3 25 \cdot \log_5 32 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 25}{\log_2 3} \cdot \frac{\log_2 32}{\log_2 5} = \frac{\log_2 25}{\log_2 5} \cdot \log_2 32 = \frac{\log_2 5^2}{\log_2 5} \cdot \log_2 2^5 = \frac{2\log_2 5}{\log_2 5} \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10$

(4) $2^{\frac{1}{4}\log_2 \frac{1}{9}} = 2^{\log_2 (\frac{1}{9})^{\frac{1}{4}}} = 2^{\log_2 (\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(5) $\log_2 \{ \log_2 (\log_2 (\log_2 16)) \} = \log_2 \{ \log_2 (\log_2 4) \} = \log_2 \{ \log_2 2 \} = \log_2 1 = 0$

問33

(1) $\log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3 \log_{10} 2 = 3 \cdot 0.3010 = 0.9030$

(2) $2^{100}$ の桁数を求める。$\log_{10} 2^{100} = 100 \log_{10} 2 = 100 \cdot 0.3010 = 30.10$。したがって、桁数は $30 + 1 = 31$ 桁。

(3) $5^{100}$ の桁数を求める。$\log_{10} 5^{100} = 100 \log_{10} 5 = 100 \log_{10} \frac{10}{2} = 100 (\log_{10} 10 - \log_{10} 2) = 100 (1 - 0.3010) = 100 \cdot 0.6990 = 69.90$。したがって、桁数は $69 + 1 = 70$ 桁。

(4) $7^{100}$ の桁数を求める。$\log_{10} 7^{100} = 100 \log_{10} 7 = 100 \cdot 0.8451 = 84.51$。したがって、桁数は $84 + 1 = 85$ 桁。

最高位の数字を求める。$\log_{10} 7^{100} = 84.51 = 84 + 0.51$。$10^{0.51}$ を計算する。$\log_{10} 3 = 0.4771$ なので $3 < 10^{0.51}$。また、$\log_{10} 4 = 2\log_{10} 2 = 0.6020$ なので、$10^{0.51} < 4$。よって、最高位の数字は3。

(5) ガラス板を $n$ 枚重ねると、光線の強さが元の $100 - 2 = 98\%$ になる。したがって、$n$ 枚重ねた後の光線の強さは $(0.98)^n$。これが元の半分以下になるので、$(0.98)^n \le 0.5$。両辺の常用対数をとると、$n \log_{10} 0.98 \le \log_{10} 0.5$。$n \log_{10} \frac{98}{100} \le \log_{10} \frac{1}{2}$。$n (\log_{10} 98 - \log_{10} 100) \le - \log_{10} 2$。$n (\log_{10} (2 \cdot 7^2) - 2) \le - 0.3010$。$n (\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 7 - 2) \le -0.3010$。$n (0.3010 + 2 \cdot 0.8451 - 2) \le -0.3010$。$n (0.3010 + 1.6902 - 2) \le -0.3010$。$n (-0.0088) \le -0.3010$。$n \ge \frac{0.3010}{0.0088} \approx 34.2$。したがって、35枚以上重ねる必要がある。

3. 最終的な答え

問31

(1) 3

(2) 3/2

(3) -3/2

(4) 3

(5) 1/9

問32

(1) 1/2

(2) 3/2

(3) 10

(4) $\sqrt{3}/3$

(5) 0

問33

(1) 0.9030

(2) 31桁

(3) 70桁

(4) 85桁、3

(5) 35枚