$a, b$ は実数とする。$x$ に関する方程式 $x^3 + ax^2 + bx + a^2 = 0$ について、全ての複素数解の実部が等しいとき、点 $(a, b)$ の存在し得る範囲を座標平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。$x$ に関する方程式 $x^3 + ax^2 + bx + a^2 = 0$ について、全ての複素数解の実部が等しいとき、点 $(a, b)$ の存在し得る範囲を座標平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式を

$x^3 + ax^2 + bx + a^2 = 0$

とする。3つの複素数解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

$\alpha\beta\gamma = -a^2$

すべての解の実部が等しいので、実部を $p$ とおくと、解は $p, p + ki, p - ki$ (kは実数)

または $p, p, p$

とおける。

(i) $p, p+ki, p-ki$ のとき、

$\alpha = p, \beta = p+ki, \gamma = p-ki$

$\alpha + \beta + \gamma = p + p+ki + p-ki = 3p = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p(p+ki) + (p+ki)(p-ki) + p(p-ki) = p^2 + pki + p^2 + k^2 + p^2 - pki = 3p^2 + k^2 = b$

$\alpha\beta\gamma = p(p+ki)(p-ki) = p(p^2+k^2) = -a^2$

$3p = -a$ より $p = -a/3$

$3p^2 + k^2 = b$ より $3(a^2/9) + k^2 = b$

$p(p^2+k^2) = -a^2$ より $(-a/3)(a^2/9 + k^2) = -a^2$

$a/3(a^2/9 + k^2) = a^2$

$a^2/9 + k^2 = 3a$

ここで、$k^2 = 3a - a^2/9$

$b = a^2/3 + k^2$

$b = a^2/3 + 3a - a^2/9$

$b = 2a^2/9 + 3a$

$k^2 = 3a - a^2/9 \ge 0$ より $3a \ge a^2/9$, $27a \ge a^2$

$a^2 - 27a \le 0$

$a(a-27) \le 0$

$0 \le a \le 27$

$b = 2a^2/9 + 3a$

(ii) $p, p, p$ のとき、

$\alpha = \beta = \gamma = p$

$\alpha + \beta + \gamma = 3p = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3p^2 = b$

$\alpha\beta\gamma = p^3 = -a^2$

$p = -a/3$ より

$3(-a/3)^2 = b$

$3a^2/9 = b$

$b = a^2/3$

$(-a/3)^3 = -a^2$

$-a^3/27 = -a^2$

$a^3 = 27a^2$

$a^3 - 27a^2 = 0$

$a^2(a-27) = 0$

$a=0, a=27$

$a = 0$ のとき $b=0$

$a = 27$ のとき $b = 27^2/3 = 243$

(i) $b = \frac{2}{9} a^2 + 3a, 0 \le a \le 27$

(ii) $(0, 0)$ および $(27, 243)$

$b = a^2/3$ は $b = \frac{2}{9}a^2 + 3a$ の一部

グラフは $b = \frac{2}{9}a^2 + 3a$ であり、$0 \le a \le 27$

3. 最終的な答え

$b = \frac{2}{9}a^2 + 3a, 0 \le a \le 27$