問題は、$x^3 + 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ という恒等式が与えられたとき、$a, b, c, d$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$x^3 + 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ という恒等式が与えられたとき、$a, b, c, d$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この恒等式は、$x$ の任意の値に対して成り立つので、$x$ に特定の値を代入することで、$a, b, c, d$ の値を順に求めることができます。

ステップ1: $x = 1$ を代入する。

$1^3 + 1 = a(1-1)(1-2)(1-3) + b(1-1)(1-2) + c(1-1) + d$

$2 = a(0) + b(0) + c(0) + d$

$d = 2$

ステップ2: $x = 2$ を代入する。

$2^3 + 1 = a(2-1)(2-2)(2-3) + b(2-1)(2-2) + c(2-1) + d$

$9 = a(0) + b(0) + c(1) + d$

$9 = c + d$

$9 = c + 2$

$c = 7$

ステップ3: $x = 3$ を代入する。

$3^3 + 1 = a(3-1)(3-2)(3-3) + b(3-1)(3-2) + c(3-1) + d$

$28 = a(0) + b(2)(1) + c(2) + d$

$28 = 2b + 2c + d$

$28 = 2b + 2(7) + 2$

$28 = 2b + 14 + 2$

$28 = 2b + 16$

$12 = 2b$

$b = 6$

ステップ4: $x = 0$ を代入する。

$0^3 + 1 = a(0-1)(0-2)(0-3) + b(0-1)(0-2) + c(0-1) + d$

$1 = a(-1)(-2)(-3) + b(-1)(-2) + c(-1) + d$

$1 = -6a + 2b - c + d$

$1 = -6a + 2(6) - 7 + 2$

$1 = -6a + 12 - 7 + 2$

$1 = -6a + 7$

$-6 = -6a$

$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 6$

$c = 7$

$d = 2$