次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 数列は 1・1, 2・4, 3・7, 4・10, ... である。

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

数列は 1・1, 2・4, 3・7, 4・10, ... である。

2. 解き方の手順

数列の第 $k$ 項は $k(3k-2)$ と表せる。したがって、数列の第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k(3k-2)$

と表せる。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 2k)$

$S_n = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$S_n = 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - n(n+1)$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1-2)}{2}$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n-1)}{2}$

$S_n = \frac{n(2n^2+n-2n-1)}{2}$

$S_n = \frac{n(2n^2-n-1)}{2}$

$S_n = \frac{2n^3-n^2-n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n-1)}{2} = \frac{2n^3-n^2-n}{2}$