与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の固有値と、それらに対応する固有ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の固有値と、それらに対応する固有ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

まず、固有値を求めるために、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 & 3 \\ -1 & 1-\lambda & -1 \\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}$

特性方程式は次のようになります。

$|A - \lambda I| = (2-\lambda)((1-\lambda)^2 + 1) - (-(1-\lambda) + 2) + 3(-1 - 2(1-\lambda)) = 0$

$(2-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda + 2) - (1+\lambda) + 3(2\lambda - 3) = 0$

$2\lambda^2 - 4\lambda + 4 - \lambda^3 + 2\lambda^2 - 2\lambda - 1 - \lambda + 6\lambda - 9 = 0$

$-\lambda^3 + 4\lambda^2 - \lambda - 6 = 0$

$\lambda^3 - 4\lambda^2 + \lambda + 6 = 0$

この方程式を解くと、$\lambda = -1, 2, 3$ が得られます。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(i) $\lambda = -1$ のとき、$(A - \lambda I)v = 0$ より、

$\begin{bmatrix} 3 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、例えば $x=1, y=0, z=-1$ が得られます。よって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ です。

(ii) $\lambda = 2$ のとき、$(A - \lambda I)v = 0$ より、

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、例えば $x=-2, y=-3, z=1$ が得られます。よって、固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ です。

(iii) $\lambda = 3$ のとき、$(A - \lambda I)v = 0$ より、

$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、例えば $x=1, y=-4, z=1$ が得られます。よって、固有ベクトルは $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3$

対応する固有ベクトル:

$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$