2次方程式 $x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = 0$ が1より大きい相異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = 0$ が1より大きい相異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 - 5$ とします。この方程式が1より大きい相異なる2つの実数解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸 $a > 1$

(3) $f(1) > 0$

(1) 判別式 $D$ について：

$D = (-2a)^2 - 4(1)(2a^2 - 5) = 4a^2 - 8a^2 + 20 = -4a^2 + 20$

$D > 0$ より、 $-4a^2 + 20 > 0$

$4a^2 < 20$

$a^2 < 5$

$-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$

(2) 軸について：

$f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = (x - a)^2 + a^2 - 5$

軸は $x = a$ なので、$a > 1$

(3) $f(1)$ について：

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + 2a^2 - 5 = 2a^2 - 2a - 4$

$f(1) > 0$ より、$2a^2 - 2a - 4 > 0$

$a^2 - a - 2 > 0$

$(a - 2)(a + 1) > 0$

$a < -1$ または $a > 2$

(1), (2), (3) の条件をすべて満たす $a$ の範囲を求めます。

(1) $-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$

(2) $a > 1$

(3) $a < -1$ または $a > 2$

(1) と (2) より、$1 < a < \sqrt{5}$

これと (3) より、$2 < a < \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$2 < a < \sqrt{5}$