与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように組み替えます。

$[(x+z)+y][(x+z)-y][(x-z)+y][(x-z)-y]$

次に、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用して、最初の2つの項と最後の2つの項をそれぞれ計算します。

最初の2つの項の積は

$[(x+z)+y][(x+z)-y] = (x+z)^2 - y^2 = x^2 + 2xz + z^2 - y^2$

最後の2つの項の積は

$[(x-z)+y][(x-z)-y] = (x-z)^2 - y^2 = x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

したがって、元の式は

$(x^2 + 2xz + z^2 - y^2)(x^2 - 2xz + z^2 - y^2)$

となります。

ここで、$a = x^2 + z^2 - y^2$ と置くと、式は $(a + 2xz)(a - 2xz)$ となり、再び和と差の積の公式が使えます。

$(a + 2xz)(a - 2xz) = a^2 - (2xz)^2 = (x^2 + z^2 - y^2)^2 - 4x^2z^2$

さらに展開します。

$(x^2 + z^2 - y^2)^2 = (x^2 + z^2 - y^2)(x^2 + z^2 - y^2) = x^4 + x^2z^2 - x^2y^2 + x^2z^2 + z^4 - z^2y^2 - x^2y^2 - z^2y^2 + y^4$

$= x^4 + z^4 + y^4 + 2x^2z^2 - 2x^2y^2 - 2z^2y^2$

したがって、

$(x^2 + z^2 - y^2)^2 - 4x^2z^2 = x^4 + z^4 + y^4 + 2x^2z^2 - 2x^2y^2 - 2z^2y^2 - 4x^2z^2$

$= x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$

$= x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

3. 最終的な答え

$x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$

または

$x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$