数列 $\{a_n\}$ について、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3 \cdot (-4)^{n-1}$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ について、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3 \cdot (-4)^{n-1}$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 2a_n + 3 \cdot (-4)^{n-1}$ の両辺を $(-4)^{n+1}$で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{(-4)^{n+1}} = \frac{2a_n}{(-4)^{n+1}} + \frac{3 \cdot (-4)^{n-1}}{(-4)^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{(-4)^{n+1}} = \frac{2}{(-4)} \cdot \frac{a_n}{(-4)^n} + \frac{3}{(-4)^2}$

$\frac{a_{n+1}}{(-4)^{n+1}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{a_n}{(-4)^n} + \frac{3}{16}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{(-4)^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n + \frac{3}{16}$

この漸化式を変形します。$b_{n+1} - \alpha = -\frac{1}{2}(b_n - \alpha)$となるような$\alpha$を求めます。

$b_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n + \frac{1}{2} \alpha + \alpha$

$b_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n + \frac{3}{2} \alpha$

$\frac{3}{2} \alpha = \frac{3}{16}$ より $\alpha = \frac{1}{8}$

よって、$b_{n+1} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{2}(b_n - \frac{1}{8})$

$c_n = b_n - \frac{1}{8}$ とおくと、$c_{n+1} = -\frac{1}{2} c_n$

これは公比$-\frac{1}{2}$の等比数列なので、

$c_n = c_1 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1} = (b_1 - \frac{1}{8})(-\frac{1}{2})^{n-1}$

$b_1 = \frac{a_1}{-4}$ より、$b_1 - \frac{1}{8} = \frac{a_1}{-4} - \frac{1}{8} = \frac{-2a_1 - 1}{8}$

$c_n = (\frac{-2a_1-1}{8})(-\frac{1}{2})^{n-1}$

$b_n = c_n + \frac{1}{8} = (\frac{-2a_1-1}{8})(-\frac{1}{2})^{n-1} + \frac{1}{8}$

$a_n = (-4)^n b_n = (-4)^n [(\frac{-2a_1-1}{8})(-\frac{1}{2})^{n-1} + \frac{1}{8}]$

$a_n = (-4)^n (\frac{-2a_1-1}{8})(-\frac{1}{2})^{n-1} + (-4)^n (\frac{1}{8})$

$a_n = \frac{-2a_1-1}{8} \cdot (-4)^n (-\frac{1}{2})^{n-1} + \frac{1}{8}(-4)^n$

$a_n = \frac{-2a_1-1}{8} \cdot (-4)^n (-1)^{n-1} \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{8}(-4)^n$

$a_n = \frac{-2a_1-1}{8} \cdot (-1)^n 4^n (-1)^{n-1} \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{8}(-4)^n$

$a_n = \frac{-2a_1-1}{8} \cdot (-1)^{2n-1} \frac{4^n}{2^{n-1}} + \frac{1}{8}(-4)^n$

$a_n = \frac{-2a_1-1}{8} \cdot (-1) \frac{2^{2n}}{2^{n-1}} + \frac{1}{8}(-4)^n$

$a_n = \frac{2a_1+1}{8} \cdot 2^{2n-(n-1)} + \frac{1}{8}(-4)^n$

$a_n = \frac{2a_1+1}{8} \cdot 2^{n+1} + \frac{1}{8}(-4)^n$

$a_n = (2a_1+1) \cdot 2^{n-2} + \frac{1}{8}(-4)^n$

3. 最終的な答え

$a_n = (2a_1+1)2^{n-2}+\frac{1}{8}(-4)^n$