与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\

3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\

3^4 & 2^5 & 1 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、行列式の性質を利用して計算を簡略化します。

まず、3列目の1を利用して、他の列の数字を0にします。具体的には、第1行を基準にして、第2行、第3行、第4行から第1行を引く操作を行います。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 4 & 1 & 1 \\

9 & 8 & 1 & 7 \\

27 & 16 & 1 & 49 \\

81 & 32 & 1 & 343

\end{vmatrix}

$$

上記の行列式の第2行から第1行を引く、第3行から第1行を引く、第4行から第1行を引く操作を行うと以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 4 & 1 & 1 \\

6 & 4 & 0 & 6 \\

24 & 12 & 0 & 48 \\

78 & 28 & 0 & 342

\end{vmatrix}

$$

次に、3列目の0を利用して、3x3の行列式に展開します。

$$

\begin{vmatrix}

6 & 4 & 6 \\

24 & 12 & 48 \\

78 & 28 & 342

\end{vmatrix}

$$

さらに、行を定数倍することを考えます。第1行を2で割ると、

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 3 \\

24 & 12 & 48 \\

78 & 28 & 342

\end{vmatrix}

$$

第2行を12で割ると、

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 3 \\

2 & 1 & 4 \\

78 & 28 & 342

\end{vmatrix}

$$

上記の行列式に展開する前の定数2と12を掛けると24となるので、元の行列式の値は求めた3x3行列式を24倍したものになります。

行列式を計算します。

$$

3(1 \cdot 342 - 4 \cdot 28) - 2(2 \cdot 342 - 4 \cdot 78) + 3(2 \cdot 28 - 1 \cdot 78)

$$

$= 3(342 - 112) - 2(684 - 312) + 3(56 - 78)$

$= 3(230) - 2(372) + 3(-22)$

$= 690 - 744 - 66$

$= -120$

したがって、もとの4x4行列式は-120になります。

3. 最終的な答え

-120