方程式 $xy = 4x - y + 7$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

方程式 $xy = 4x - y + 7$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形する。

$xy = 4x - y + 7$ を変形して、$y$ について解くことを試みる。

$xy + y = 4x + 7$

$y(x+1) = 4x + 7$

$y = \frac{4x+7}{x+1}$

次に、$y$ を整数として表すために、$4x+7$ を $x+1$ で割る。

$y = \frac{4x+4+3}{x+1} = \frac{4(x+1)+3}{x+1} = 4 + \frac{3}{x+1}$

$x$ と $y$ が自然数であるためには、$x+1$ は $3$ の約数でなければならない。つまり、$x+1$ は $1$ または $3$ である。

$x+1 = 1$ のとき、$x=0$。しかし、$x$ は自然数なので、$x=0$ は条件を満たさない。

$x+1 = 3$ のとき、$x=2$。このとき、$y = 4 + \frac{3}{3} = 4 + 1 = 5$。

したがって、$x=2$、$y=5$ が解となる。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (2, 5)$