問題は2つあります。 * 5.(3) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$ を展開せよ。 * 5.(4) $(-a+b+c)(a+b-c)$ を展開せよ。 * 6.(1) $2x^3y+4x^2y^2-4xy^3$ を因数分解せよ。 * 6.(2) $5a(a-2b)-b(2b-a)$ を因数分解せよ。 * 6.(3) $x^2+8x+16$ を因数分解せよ。 * 6.(4) $9a^2-6a+1$ を因数分解せよ。 * 6.(5) $x^2-14xy+49y^2$ を因数分解せよ。 * 6.(6) $x^2+9x+20$ を因数分解せよ。 * 6.(7) $x^2-8x+12$ を因数分解せよ。 * 6.(8) $x^2+2xy-15y^2$ を因数分解せよ。 * 6.(9) $x^2-7ax-18a^2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 5.(3) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$ を展開せよ。

* 5.(4) $(-a+b+c)(a+b-c)$ を展開せよ。

* 6.(1) $2x^3y+4x^2y^2-4xy^3$ を因数分解せよ。

* 6.(2) $5a(a-2b)-b(2b-a)$ を因数分解せよ。

* 6.(3) $x^2+8x+16$ を因数分解せよ。

* 6.(4) $9a^2-6a+1$ を因数分解せよ。

* 6.(5) $x^2-14xy+49y^2$ を因数分解せよ。

* 6.(6) $x^2+9x+20$ を因数分解せよ。

* 6.(7) $x^2-8x+12$ を因数分解せよ。

* 6.(8) $x^2+2xy-15y^2$ を因数分解せよ。

* 6.(9) $x^2-7ax-18a^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

* 5.(3) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$ の展開:

これは和と差の積の形に似ているので、$(a^2+2b^2 - ab)(a^2+2b^2 + ab)$と変形すると、$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の公式が使えます。ここで、$A = a^2 + 2b^2$、$B = ab$ です。

$(a^2+2b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - a^2b^2 = a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

* 5.(4) $(-a+b+c)(a+b-c)$ の展開:

これも和と差の積の形を利用します。$(b + (c-a))(b - (c-a))$と変形すると、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の公式が使えます。ここで、$A = b$、$B = c-a$ です。

$b^2 - (c-a)^2 = b^2 - (c^2 - 2ac + a^2) = b^2 - c^2 + 2ac - a^2 = -a^2 + b^2 - c^2 + 2ac$

* 6.(1) $2x^3y+4x^2y^2-4xy^3$ の因数分解:

共通因数 $2xy$ でくくります。

$2xy(x^2+2xy-2y^2)$

* 6.(2) $5a(a-2b)-b(2b-a)$ の因数分解:

まず展開します。

$5a^2 - 10ab - 2b^2 + ab = 5a^2 - 9ab - 2b^2$

たすき掛けで因数分解します。

$(5a+b)(a-2b)$

* 6.(3) $x^2+8x+16$ の因数分解:

これは $(x+4)^2$ と因数分解できます。

* 6.(4) $9a^2-6a+1$ の因数分解:

これは $(3a-1)^2$ と因数分解できます。

* 6.(5) $x^2-14xy+49y^2$ の因数分解:

これは $(x-7y)^2$ と因数分解できます。

* 6.(6) $x^2+9x+20$ の因数分解:

これは $(x+4)(x+5)$ と因数分解できます。

* 6.(7) $x^2-8x+12$ の因数分解:

これは $(x-2)(x-6)$ と因数分解できます。

* 6.(8) $x^2+2xy-15y^2$ の因数分解:

これは $(x+5y)(x-3y)$ と因数分解できます。

* 6.(9) $x^2-7ax-18a^2$ の因数分解:

これは $(x-9a)(x+2a)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

* 5.(3) $a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

* 5.(4) $-a^2 + b^2 - c^2 + 2ac$

* 6.(1) $2xy(x^2+2xy-2y^2)$

* 6.(2) $(5a+b)(a-2b)$

* 6.(3) $(x+4)^2$

* 6.(4) $(3a-1)^2$

* 6.(5) $(x-7y)^2$

* 6.(6) $(x+4)(x+5)$

* 6.(7) $(x-2)(x-6)$

* 6.(8) $(x+5y)(x-3y)$

* 6.(9) $(x-9a)(x+2a)$