与えられた式 $(a + b + c)(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a + b + c)(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を並び替えて以下のようにします。

$(a + (b+c))(a - (b+c)) (a - (b-c)) (a + (b-c))$

次に、和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$(a + (b+c))(a - (b+c)) = a^2 - (b+c)^2 = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)$

$(a - (b-c))(a + (b-c)) = (a - (b-c))(a + (b-c)) = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$

したがって、与えられた式は以下のように変形できます。

$(a^2 - (b^2 + 2bc + c^2))(a^2 - (b^2 - 2bc + c^2))$

$((a^2 - b^2 - c^2) - 2bc)((a^2 - b^2 - c^2) + 2bc)$

ここで、$A = a^2 - b^2 - c^2$ とすると、

$(A - 2bc)(A + 2bc) = A^2 - (2bc)^2 = A^2 - 4b^2c^2$

したがって、

$(a^2 - b^2 - c^2)^2 - 4b^2c^2$

$= (a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 2b^2c^2) - 4b^2c^2$

$= a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

3. 最終的な答え

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

または

$a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$