(1) 原点が頂点である放物線が点 $(-1, 3)$ を通る。この放物線の式を求める。 (2) 関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le 4$ のときの $y$ の変域が $0 \le y \le 4$ である。$a$ の値を求める。 (3) 関数 $y = -2x^2$ について、$x$ の値が $-4$ から $-1$ まで増加するときの変化の割合を求める。

1. 問題の内容

(1) 原点が頂点である放物線が点 $(-1, 3)$ を通る。この放物線の式を求める。

(2) 関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le 4$ のときの $y$ の変域が $0 \le y \le 4$ である。$a$ の値を求める。

(3) 関数 $y = -2x^2$ について、$x$ の値が $-4$ から $-1$ まで増加するときの変化の割合を求める。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が原点である放物線の式は $y = ax^2$ と表される。

この放物線が点 $(-1, 3)$ を通るので、$x = -1$, $y = 3$ を代入して、$a$ を求める。

$3 = a(-1)^2$

$3 = a$

よって、放物線の式は $y = 3x^2$ となる。

(2)

$y = ax^2$ のグラフは原点を通る。$x$ の変域が $-3 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 4$ であることから、$y$ の最大値は 4 である。

$x$ の変域に 0 が含まれているため、$y$ の最小値は 0 である。

$a > 0$ のとき、$x = 4$ で $y = 4$ となる。

$a < 0$ のとき、$x = -3$ で $y = 4$ となる。

$x = 4$ を代入して、$4 = a(4)^2$

$4 = 16a$

$a = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$x = -3$ を代入して、$4 = a(-3)^2$

$4 = 9a$

$a = \frac{4}{9}$

$a < 0$ で条件を満たすことはない。

よって、$a = \frac{1}{4}$

(3)

変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められる。

$x$ が $-4$ から $-1$ まで増加するときの $y$ の増加量を求める。

$x = -4$ のとき、$y = -2(-4)^2 = -2(16) = -32$

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 = -2(1) = -2$

$x$ の増加量は $-1 - (-4) = -1 + 4 = 3$

$y$ の増加量は $-2 - (-32) = -2 + 32 = 30$

変化の割合は $\frac{30}{3} = 10$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2$

(2) $a = \frac{1}{4}$

(3) $10$