問題は、実数 $x$ に関する次の3つの命題の真偽を判定することです。 (1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$ (2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$ (3) $|x| \leq 2 \implies |x - 1| < 3$

1. 問題の内容

問題は、実数 $x$ に関する次の3つの命題の真偽を判定することです。

(1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$

(2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$

(3) $|x| \leq 2 \implies |x - 1| < 3$

2. 解き方の手順

(1) 命題 $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$ の真偽を調べます。

$1 < x < 2$ が成り立つならば、$1 < x$ かつ $x < 2$ が成り立ちます。

$x < 2$ より $x < 3$ なので、$1 < x < 3$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真です。

(2) 命題 $x < 1 \implies 0 < x < 1$ の真偽を調べます。

$x < 1$ が成り立つとしても、$x < 0$ の場合もあります。

例えば、$x = -1$ のとき、$x < 1$ は成り立ちますが、$0 < x < 1$ は成り立ちません。

したがって、この命題は偽です。

(3) 命題 $|x| \leq 2 \implies |x - 1| < 3$ の真偽を調べます。

$|x| \leq 2$ は $-2 \leq x \leq 2$ を意味します。

$-2 \leq x \leq 2$ のとき、各辺から1を引くと、

$-3 \leq x - 1 \leq 1$ となります。

このことから $|x - 1| \leq 3$ が成り立ちますが、$|x-1|<3$が常に成り立つか考えます。

$x = -2$ の時、$|x| = |-2| = 2 \leq 2$が成り立ち、$|x - 1| = |-2 - 1| = |-3| = 3$ となり、$|x - 1| < 3$ が成り立ちません。

$x = 2$ の時、$|x| = |2| = 2 \leq 2$が成り立ち、$|x - 1| = |2 - 1| = |1| = 1 < 3$ となり成り立ちます。

$-3 \leq x-1 \leq 1$ なので$|x-1| \leq 3$が成り立つので、$|x-1| < 3$は常に成り立つわけではありません。

$|x - 1| < 3$は$-3 < x - 1 < 3$なので、$-2 < x < 4$です。

$-2 \leq x \leq 2$は$-2 < x < 4$を満たしているので、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 真