$a, b, c$ は実数とする。次の条件のうち、$a=b$ と同値な条件をすべて選ぶ。 (1) $a+c = b+c$ (2) $a^2 = b^2$ (3) $(a-b)^2 = 0$

1. 問題の内容

$a, b, c$ は実数とする。次の条件のうち、$a=b$ と同値な条件をすべて選ぶ。

(1) $a+c = b+c$

(2) $a^2 = b^2$

(3) $(a-b)^2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a+c = b+c$ の場合：

両辺から $c$ を引くと、 $a = b$ となる。

したがって、$a+c = b+c$ は $a=b$ と同値である。

(2) $a^2 = b^2$ の場合：

$a^2 = b^2$ は、$a^2 - b^2 = 0$ と変形できる。

これは、$(a-b)(a+b) = 0$ と因数分解できる。

したがって、$a-b = 0$ または $a+b = 0$ である。

つまり、$a=b$ または $a=-b$ である。

$a=b$ ならば $a^2 = b^2$ は成り立つが、$a^2 = b^2$ ならば $a=b$ とは限らない ($a=-b$ の場合もある)。

したがって、$a^2 = b^2$ は $a=b$ と同値ではない。

(3) $(a-b)^2 = 0$ の場合：

$(a-b)^2 = 0$ のとき、$a-b = 0$ となる。

したがって、$a = b$ である。

また、$a=b$ のとき、$(a-b)^2 = (b-b)^2 = 0^2 = 0$ となる。

したがって、$(a-b)^2 = 0$ は $a=b$ と同値である。

3. 最終的な答え

(1)と(3)