実数 $x, y$ と自然数 $n$ について、以下の命題が偽であることを示す問題です。 (1) $x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$ (2) $|x| > |y| \implies x > y$ (3) $n$ は奇数 $\implies 10n + 1$ は素数

1. 問題の内容

実数 $x, y$ と自然数 $n$ について、以下の命題が偽であることを示す問題です。

(1) $x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$

(2) $|x| > |y| \implies x > y$

(3) $n$ は奇数 $\implies 10n + 1$ は素数

2. 解き方の手順

命題が偽であることを示すには、反例を一つ見つければ十分です。

(1) $x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$

反例: $x = -\sqrt{3}$ のとき、$x^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$ が成り立ちますが、$x = \sqrt{3}$ ではありません。

(2) $|x| > |y| \implies x > y$

反例: $x = -2$, $y = 1$ のとき、$|x| = |-2| = 2 > |1| = |y|$ が成り立ちますが、$x = -2 < 1 = y$ です。

(3) $n$ は奇数 $\implies 10n + 1$ は素数

反例: $n = 9$ のとき、$n$ は奇数ですが、$10n + 1 = 10 \times 9 + 1 = 91 = 7 \times 13$ は素数ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 反例：$x = -\sqrt{3}$

(2) 反例：$x = -2$, $y = 1$

(3) 反例：$n = 9$