十の位の数が8である3桁の自然数がある。各位の数の和は8である。百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は、もとの数より396大きい。もとの自然数を求めよ。

1. 問題の内容

十の位の数が8である3桁の自然数がある。各位の数の和は8である。百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は、もとの数より396大きい。もとの自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

もとの自然数を $100a + 80 + b$ とおく。ここで、$a$ は百の位の数、$b$ は一の位の数である。

各位の数の和は8であるから、

$a + 8 + b = 8$

$a + b = 0$

$a$ と $b$ は自然数なので、これはありえない。問題文が間違っている可能性があるが、ここでは各位の和は8ではなく$k$として話を進める。

$a + 8 + b = k$

$a + b = k - 8$ --- (1)

百の位と一の位を入れ替えた数は、$100b + 80 + a$ である。これがもとの数より396大きいので、

$100b + 80 + a = 100a + 80 + b + 396$

$99b - 99a = 396$

$b - a = 4$ --- (2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)と(2)より、 $a+b = k - 8$ かつ $b - a = 4$。

(1)+(2)より、 $2b = k - 4$

$b = \frac{k-4}{2}$

(1)-(2)より、 $2a = k - 12$

$a = \frac{k-12}{2}$

$a$ と $b$ は自然数であるから、$a \ge 1$ かつ $b \ge 0$ でなければならない。

$a = \frac{k-12}{2} \ge 1$ より、$k - 12 \ge 2$ なので、$k \ge 14$。

$b = \frac{k-4}{2} \ge 0$ なので、$k \ge 4$。

また、$a$ と $b$ は整数なので、$k-12$と$k-4$は偶数である。よって、$k$ は偶数である。

十の位が8であることから、$a+8+b \le 9+8+9=26$.

$a,b$は一位の数だから0~9の整数である。

もし、問題文通り各位の和を8だとすると、$a+b=0$となるため条件を満たす３桁の整数は存在しない。

そこで、各位の和の数字が8ではなく14だと仮定すると、

$a = \frac{14-12}{2} = 1$

$b = \frac{14-4}{2} = 5$

もとの自然数は $100(1) + 80 + 5 = 185$

3. 最終的な答え

185