2組の連立方程式が与えられており、それらが同じ解を持つという条件のもとで、$a$と$b$の値を求める問題です。 連立方程式は以下の通りです。 連立方程式1: $ \begin{cases} 2x + 9y = -2 \\ 2ax + (b-3)y = 5 \end{cases} $ 連立方程式2: $ \begin{cases} bx + 42y = -2 \\ 10x - 3y = 6 \end{cases} $

1. 問題の内容

2組の連立方程式が与えられており、それらが同じ解を持つという条件のもとで、$a$と$b$の値を求める問題です。 連立方程式は以下の通りです。

連立方程式1:

$$

\begin{cases}

2x + 9y = -2 \\

2ax + (b-3)y = 5

\end{cases}

$$

連立方程式2:

$$

\begin{cases}

bx + 42y = -2 \\

10x - 3y = 6

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式2を解いて、$x$と$y$の値を求めます。

$10x - 3y = 6$より、$3y = 10x - 6$なので、$y = \frac{10x - 6}{3}$となります。

これを$bx + 42y = -2$に代入します。

$bx + 42(\frac{10x - 6}{3}) = -2$

$bx + 14(10x - 6) = -2$

$bx + 140x - 84 = -2$

$(b + 140)x = 82$

$x = \frac{82}{b + 140}$

$y = \frac{10x - 6}{3} = \frac{10(\frac{82}{b + 140}) - 6}{3} = \frac{\frac{820}{b + 140} - \frac{6(b + 140)}{b + 140}}{3} = \frac{820 - 6b - 840}{3(b + 140)} = \frac{-6b - 20}{3(b + 140)}$

次に、$2x + 9y = -2$に求めた$x$と$y$の値を代入します。

$2(\frac{82}{b + 140}) + 9(\frac{-6b - 20}{3(b + 140)}) = -2$

$\frac{164}{b + 140} + \frac{-18b - 60}{b + 140} = -2$

$\frac{164 - 18b - 60}{b + 140} = -2$

$104 - 18b = -2(b + 140)$

$104 - 18b = -2b - 280$

$384 = 16b$

$b = 24$

$b = 24$を$10x - 3y = 6$と$bx + 42y = -2$に代入して、$x$と$y$を求めます。

$10x - 3y = 6$

$24x + 42y = -2$

$10x - 3y = 6$より、$3y = 10x - 6$なので、$y = \frac{10x - 6}{3}$となります。

これを$24x + 42y = -2$に代入します。

$24x + 42(\frac{10x - 6}{3}) = -2$

$24x + 14(10x - 6) = -2$

$24x + 140x - 84 = -2$

$164x = 82$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{10(\frac{1}{2}) - 6}{3} = \frac{5 - 6}{3} = -\frac{1}{3}$

よって、$x = \frac{1}{2}$、$y = -\frac{1}{3}$となります。

$2ax + (b-3)y = 5$に$x = \frac{1}{2}$、$y = -\frac{1}{3}$、$b=24$を代入します。

$2a(\frac{1}{2}) + (24 - 3)(-\frac{1}{3}) = 5$

$a - 7 = 5$

$a = 12$

3. 最終的な答え

$a = 12$

$b = 24$