方程式 $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

1. 問題の内容

方程式 $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$|x-2|$ の絶対値を外すことを考えます。

(i) $x \geq 2$ のとき、$|x - 2| = x - 2$ となるので、与えられた方程式は

$|x - (x - 2)| = 1$

$|x - x + 2| = 1$

$|2| = 1$

$2 = 1$

これは明らかに矛盾しているので、$x \geq 2$ の範囲に解は存在しません。

(ii) $x < 2$ のとき、$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ となるので、与えられた方程式は

$|x - (2 - x)| = 1$

$|x - 2 + x| = 1$

$|2x - 2| = 1$

絶対値を外すために、さらに場合分けをします。

(a) $2x - 2 \geq 0$ つまり $x \geq 1$ のとき、$|2x - 2| = 2x - 2$ となるので、

$2x - 2 = 1$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

これは $1 \leq x < 2$ を満たします。

(b) $2x - 2 < 0$ つまり $x < 1$ のとき、$|2x - 2| = -(2x - 2) = 2 - 2x$ となるので、

$2 - 2x = 1$

$-2x = -1$

$x = \frac{1}{2}$

これは $x < 1$ を満たします。

したがって、$x = \frac{3}{2}$ と $x = \frac{1}{2}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$