数列 $\{a_n\}$ の初項は $a_1 = 2$ であり、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2} S_n + 3^{n+1}$ を満たします。 (1) $n=1$ を代入して $a_2$ を求め、$n=2$ を代入して $a_3$ を求めます。 (2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ で数列 $\{b_n\}$ を定義し、$b_1$ を求めます。 また、$b_n$ と $b_{n+1}$ の間の関係式を導きます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項は $a_1 = 2$ であり、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2} S_n + 3^{n+1}$ を満たします。

(1) $n=1$ を代入して $a_2$ を求め、$n=2$ を代入して $a_3$ を求めます。

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ で数列 $\{b_n\}$ を定義し、$b_1$ を求めます。

また、$b_n$ と $b_{n+1}$ の間の関係式を導きます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$S_1 = a_1 = 2$ です。

$n=1$ を $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$ に代入すると、$S_2 = \frac{1}{2} S_1 + 3^2 = \frac{1}{2}(2) + 9 = 1 + 9 = 10$ です。

したがって、$a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 2 = 8$ です。

次に、$n=2$ を $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$ に代入すると、$S_3 = \frac{1}{2} S_2 + 3^3 = \frac{1}{2}(10) + 27 = 5 + 27 = 32$ です。

したがって、$a_3 = S_3 - S_2 = 32 - 10 = 22$ です。

(2)

$b_n = \frac{S_n}{3^n}$ なので、$b_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{2}{3}$ です。

$S_{n+1} = \frac{1}{2} S_n + 3^{n+1}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{2} \frac{S_n}{3^{n+1}} + 1$

$b_{n+1} = \frac{1}{2} \frac{S_n}{3^n \cdot 3} + 1$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} \frac{S_n}{3^n} + 1$

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + 1$

$b_{n+1} - c = \frac{1}{6} (b_n - c)$ と変形することを考えます。

$b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + c - \frac{1}{6} c$

これと $b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n + 1$ を比較すると、$c - \frac{1}{6} c = 1$ より $\frac{5}{6} c = 1$ なので $c = \frac{6}{5}$ です。

したがって、$b_{n+1} - \frac{6}{5} = \frac{1}{6} (b_n - \frac{6}{5})$ と変形できます。

3. 最終的な答え

ア: 8

イウ: 22

エ: 2

オ: 3

カ: 6

キ: 1

ク: 6

ケ: 5