3桁の自然数があり、十の位の数は8です。各位の数の和は8です。百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は、元の数よりも396大きいです。元の自然数を求めなさい。

1. 問題の内容

3桁の自然数があり、十の位の数は8です。各位の数の和は8です。百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は、元の数よりも396大きいです。元の自然数を求めなさい。

2. 解き方の手順

元の3桁の自然数を $100a + 80 + c$ と表します。ここで、$a$ は百の位の数、$c$ は一の位の数を表します。

問題文より、

* 各位の数の和が8なので、$a + 8 + c = 8$、したがって $a + c = 0$ 。

* 百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は、$100c + 80 + a$ 。

* 入れ替えた数は元の数より396大きいので、$100c + 80 + a = 100a + 80 + c + 396$ 。

これらの情報から元の数を求めます。

まず、$a + c = 0$ より、$c = -a$　となります。しかし、$a$ と $c$ は自然数なので、$a > 0$　かつ　$c > 0$　を満たす必要があります。したがって、$a + c = 0$ はありえません。問題文に誤りがあるか、もしくは読み違いをしている可能性があります。

問題文の「各位の数の和は8である」を「各位の数の和は口人（くちびと）」と解釈し、和が特定の値ではない場合、問題を解くことは困難です。

問題文の「各位の数の和は8である」を「各位の数の和は8である」と解釈し、次に進みます。

式を整理すると、

$100c + 80 + a = 100a + 80 + c + 396$

$99c - 99a = 396$

$c - a = 4$

$a + c = 8$ という条件と、$c - a = 4$ という条件の連立方程式を解きます。

$a + c = 8$

$c - a = 4$

この2式を足し合わせると、$2c = 12$ より、$c = 6$ となります。

$c = 6$ を $a + c = 8$ に代入すると、$a + 6 = 8$ より、$a = 2$ となります。

したがって、元の数は $100a + 80 + c = 100 \times 2 + 80 + 6 = 200 + 80 + 6 = 286$ となります。

3. 最終的な答え

286