与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。 $S_n = \sum_{i=1}^{n} (\frac{3}{2} i^2 + \frac{5}{2} i)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。

$S_n = \sum_{i=1}^{n} (\frac{3}{2} i^2 + \frac{5}{2} i)$

2. 解き方の手順

総和の性質を用いて、シグマを分解します。

$S_n = \sum_{i=1}^{n} (\frac{3}{2} i^2) + \sum_{i=1}^{n} (\frac{5}{2} i)$

定数をシグマの外に出します。

$S_n = \frac{3}{2} \sum_{i=1}^{n} i^2 + \frac{5}{2} \sum_{i=1}^{n} i$

$\sum_{i=1}^{n} i^2$ と $\sum_{i=1}^{n} i$ の公式を適用します。

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

これらの公式を代入します。

$S_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

式を整理します。

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} + \frac{5n(n+1)}{4}$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{4}$ でくくります。

$S_n = \frac{n(n+1)}{4} (2n+1 + 5)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{4} (2n+6)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{4} \cdot 2(n+3)$

$S_n = \frac{n(n+1)(n+3)}{2}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n(n+1)(n+3)}{2}$