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与えられた条件から、指定された式の値を求める問題です。 (1) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めます。 (2) $x - \frac{1}{x} = 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $(x + \frac{1}{x})^2$ の値を求めます。 (3) $x + \frac{1}{x} = a$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を $a$ を用いて表します。

代数学式の計算展開因数分解分数式
2025/5/31
はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた条件から、指定された式の値を求める問題です。
(1) x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3 のとき、x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} と x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} の値を求めます。
(2) x−1x=1x - \frac{1}{x} = 1 のとき、x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} と (x+1x)2(x + \frac{1}{x})^2 の値を求めます。
(3) x+1x=ax + \frac{1}{x} = a のとき、x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} と x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} の値を aa を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)
x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3 の両辺を2乗すると、
(x+1x)2=32(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2
x2+2(x)(1x)+1x2=9x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 9
x2+2+1x2=9x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9
x2+1x2=9−2=7x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7
x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3 の両辺を3乗すると、
(x+1x)3=33(x + \frac{1}{x})^3 = 3^3
x3+3(x2)(1x)+3(x)(1x2)+1x3=27x^3 + 3(x^2)(\frac{1}{x}) + 3(x)(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = 27
x3+3x+3x+1x3=27x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 27
x3+1x3+3(x+1x)=27x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 27
x3+1x3+3(3)=27x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3) = 27
x3+1x3=27−9=18x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18
(2)
x−1x=1x - \frac{1}{x} = 1 の両辺を2乗すると、
(x−1x)2=12(x - \frac{1}{x})^2 = 1^2
x2−2(x)(1x)+1x2=1x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 1
x2−2+1x2=1x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 1
x2+1x2=1+2=3x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 + 2 = 3
x+1xx + \frac{1}{x} の値を求めるために、(x+1x)2=(x−1x)2+4 (x + \frac{1}{x})^2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 4 を使う。
(x+1x)2=12+4=5(x + \frac{1}{x})^2 = 1^2 + 4 = 5
(3)
x+1x=ax + \frac{1}{x} = a の両辺を2乗すると、
(x+1x)2=a2(x + \frac{1}{x})^2 = a^2
x2+2(x)(1x)+1x2=a2x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = a^2
x2+2+1x2=a2x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = a^2
x2+1x2=a2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2
x+1x=ax + \frac{1}{x} = a の両辺を3乗すると、
(x+1x)3=a3(x + \frac{1}{x})^3 = a^3
x3+3(x2)(1x)+3(x)(1x2)+1x3=a3x^3 + 3(x^2)(\frac{1}{x}) + 3(x)(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = a^3
x3+3x+3x+1x3=a3x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = a^3
x3+1x3+3(x+1x)=a3x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = a^3
x3+1x3+3a=a3x^3 + \frac{1}{x^3} + 3a = a^3
x3+1x3=a3−3ax^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a

3. 最終的な答え

(1)
x2+1x2=7x^2 + \frac{1}{x^2} = 7
x3+1x3=18x^3 + \frac{1}{x^3} = 18
(2)
x2+1x2=3x^2 + \frac{1}{x^2} = 3
(x+1x)2=5(x + \frac{1}{x})^2 = 5
(3)
x2+1x2=a2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2
x3+1x3=a3−3ax^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a

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