$A \in M_2(\mathbb{R})$ に対して、${}^tA \cdot A = A \cdot {}^tA$ を満たす $A$ を全て求めよ。ここで、$M_2(\mathbb{R})$ は実数を成分とする2x2行列全体を表し、${}^tA$ は $A$ の転置行列を表します。

1. 問題の内容

$A \in M_2(\mathbb{R})$ に対して、${}^tA \cdot A = A \cdot {}^tA$ を満たす $A$ を全て求めよ。ここで、$M_2(\mathbb{R})$ は実数を成分とする2x2行列全体を表し、${}^tA$ は $A$ の転置行列を表します。

2. 解き方の手順

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と置くと、${}^tA = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ となります。

${}^tA \cdot A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix}$

$A \cdot {}^tA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & ac + bd \\ ac + bd & c^2 + d^2 \end{pmatrix}$

${}^tA \cdot A = A \cdot {}^tA$ より、

$\begin{pmatrix} a^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & ac + bd \\ ac + bd & c^2 + d^2 \end{pmatrix}$

よって、

$a^2 + c^2 = a^2 + b^2 \implies c^2 = b^2$

$b^2 + d^2 = c^2 + d^2 \implies b^2 = c^2$

$ab + cd = ac + bd \implies ab - ac = bd - cd \implies a(b - c) = d(b - c)$

$c^2 = b^2$ より、$c = b$ または $c = -b$ となります。

(i) $c = b$ のとき：

$a(b - c) = d(b - c)$ は常に成立します。

このとき、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ となります。この行列は対称行列です。

(ii) $c = -b$ のとき：

$a(b - (-b)) = d(b - (-b))$ より、$2ab = 2bd$ となり、$b(a - d) = 0$ となります。

従って、$b = 0$ または $a = d$ となります。

(a) $b = 0$ のとき：

$A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$ となります。

(b) $a = d$ のとき：

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ となります。

まとめると、$A$ は以下のいずれかの形になります。

1. $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ (対称行列)

2. $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$ (対角行列)

3. $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

${}^tA \cdot A = A \cdot {}^tA$ を満たす $A$ は、

1. 対称行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$

2. 対角行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$

3. $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$

ただし、$a, b, d \in \mathbb{R}$