与えられた3元連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下です。 $\begin{cases} x + 2y + 4z = 5 \\ 3x + 7y + 9z = 9 \\ 2x + 6y + 5z = 1 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた3元連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下です。

$\begin{cases}

x + 2y + 4z = 5 \\

3x + 7y + 9z = 9 \\

2x + 6y + 5z = 1

\end{cases}$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いるために、まず係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 7 & 9 \\ 2 & 6 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (7 \cdot 5 - 9 \cdot 6) - 2 \cdot (3 \cdot 5 - 9 \cdot 2) + 4 \cdot (3 \cdot 6 - 7 \cdot 2) = 1 \cdot (35 - 54) - 2 \cdot (15 - 18) + 4 \cdot (18 - 14) = -19 - 2 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = -19 + 6 + 16 = 3$

次に、$x$ を求めるために、係数行列の第1列を定数項に置き換えた行列の行列式 $D_x$ を計算します。

$D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 4 \\ 9 & 7 & 9 \\ 1 & 6 & 5 \end{vmatrix} = 5 \cdot (7 \cdot 5 - 9 \cdot 6) - 2 \cdot (9 \cdot 5 - 9 \cdot 1) + 4 \cdot (9 \cdot 6 - 7 \cdot 1) = 5 \cdot (35 - 54) - 2 \cdot (45 - 9) + 4 \cdot (54 - 7) = 5 \cdot (-19) - 2 \cdot 36 + 4 \cdot 47 = -95 - 72 + 188 = 21$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{21}{3} = 7$

次に、$y$ を求めるために、係数行列の第2列を定数項に置き換えた行列の行列式 $D_y$ を計算します。

$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 9 & 9 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (9 \cdot 5 - 9 \cdot 1) - 5 \cdot (3 \cdot 5 - 9 \cdot 2) + 4 \cdot (3 \cdot 1 - 9 \cdot 2) = 1 \cdot (45 - 9) - 5 \cdot (15 - 18) + 4 \cdot (3 - 18) = 36 - 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-15) = 36 + 15 - 60 = -9$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-9}{3} = -3$

次に、$z$ を求めるために、係数行列の第3列を定数項に置き換えた行列の行列式 $D_z$ を計算します。

$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 7 & 9 \\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (7 \cdot 1 - 9 \cdot 6) - 2 \cdot (3 \cdot 1 - 9 \cdot 2) + 5 \cdot (3 \cdot 6 - 7 \cdot 2) = 1 \cdot (7 - 54) - 2 \cdot (3 - 18) + 5 \cdot (18 - 14) = -47 - 2 \cdot (-15) + 5 \cdot 4 = -47 + 30 + 20 = 3$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{3}{3} = 1$

3. 最終的な答え

$x = 7, y = -3, z = 1$