与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ と $(x-1)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、これらを掛け合わせます。

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

この式を展開するために、いくつかの方法があります。ここでは、まず式を$( (x^2+1) + 2x )((x^2+1) - 2x )$と見て、和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を利用します。

$A = x^2+1$

$B = 2x$

すると、式は次のようになります。

$(x^2+1)^2 - (2x)^2$

$(x^2+1)^2$を展開すると、

$(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

$(2x)^2$を展開すると、

$(2x)^2 = 4x^2$

したがって、元の式は次のようになります。

$x^4 + 2x^2 + 1 - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

別の解き方として、$(x+1)^2(x-1)^2 = ((x+1)(x-1))^2$と変形できます。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

したがって、

$((x+1)(x-1))^2 = (x^2-1)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2 + 1$