問題81の(1)と(2)の式を計算して簡単にします。

1. 問題の内容

問題81の(1)と(2)の式を計算して簡単にします。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた式は、 $\frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}}$ です。

共通の分母を見つけて、式をまとめます。

共通の分母は $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$ です。

したがって、

$$\frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{3-\sqrt{5}}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} + \frac{3+\sqrt{5}}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$

$$= \frac{3-\sqrt{5} + 3+\sqrt{5}}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{6}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{6}{9-5} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

(2) 与えられた式は、 $\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ です。

共通の分母を見つけて、式をまとめます。

共通の分母は $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$ です。

したがって、

$$\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} - \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$$

$$= \frac{\sqrt{2}-1 - (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}-1 - \sqrt{2}-1}{2-1} = \frac{-2}{1} = -2$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $-2$