与えられた3つの2x2行列A, B, Cの逆行列をそれぞれ求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 50 & 45 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの2x2行列A, B, Cの逆行列をそれぞれ求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 50 & 45 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

2x2行列の逆行列は、次のような公式で求められます。

$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$のとき、

$M^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

ただし、$ad - bc \neq 0$

(1) 行列Aの逆行列

$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = (-3)(1) - (2)(-4) = -3 + 8 = 5$

$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/5 & -2/5 \\ 4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$

(2) 行列Bの逆行列

$B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$det(B) = (2)(3) - (6)(1) = 6 - 6 = 0$

行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(3) 行列Cの逆行列

$C = \begin{pmatrix} 50 & 45 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}$

$det(C) = (50)(25) - (45)(30) = 1250 - 1350 = -100$

$C^{-1} = \frac{1}{-100} \begin{pmatrix} 25 & -45 \\ -30 & 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 & 9/20 \\ 3/10 & -1/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/5 & -2/5 \\ 4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$

行列Bの逆行列は存在しない

$C^{-1} = \begin{pmatrix} -1/4 & 9/20 \\ 3/10 & -1/2 \end{pmatrix}$