与えられた式 $a(x+2)^2 + b(x+3)^2 + c(x+2)(x+3) = x^2$ を展開し、$x$ について整理することで、$x$ の恒等式として係数を比較して、$a, b, c$ の間の関係を求める問題。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(x+2)^2 + b(x+3)^2 + c(x+2)(x+3) = x^2$ を展開し、$x$ について整理することで、$x$ の恒等式として係数を比較して、$a, b, c$ の間の関係を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a(x^2 + 4x + 4) + b(x^2 + 6x + 9) + c(x^2 + 5x + 6) = x^2$

次に、$x^2, x,$ 定数項について整理します。

$(a+b+c)x^2 + (4a+6b+5c)x + (4a+9b+6c) = x^2$

これが $x$ の恒等式であることから、各項の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+b+c = 1$

$4a+6b+5c = 0$

$4a+9b+6c = 0$

上記の連立方程式を解きます。

2番目の式と3番目の式の差をとると、

$(4a+9b+6c) - (4a+6b+5c) = 0 - 0$

$3b+c = 0$

$c = -3b$

これを1番目の式に代入すると、

$a+b-3b = 1$

$a-2b = 1$

$a = 1+2b$

これを2番目の式に代入すると、

$4(1+2b)+6b+5(-3b) = 0$

$4+8b+6b-15b = 0$

$4-b = 0$

$b = 4$

したがって、

$a = 1+2(4) = 9$

$c = -3(4) = -12$

3. 最終的な答え

$a=9, b=4, c=-12$