与えられた行列AとBに対して、行列の積ABとBAを計算し、AB = BAが成り立つかどうかを調べます。

1. 問題の内容

与えられた行列AとBに対して、行列の積ABとBAを計算し、AB = BAが成り立つかどうかを調べます。

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の場合

まず、ABを計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 0\cdot2 & 2\cdot2 + 0\cdot1 \\ 0\cdot1 + 3\cdot2 & 0\cdot2 + 3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$

次に、BAを計算します。

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot0 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\ 2\cdot2 + 1\cdot0 & 2\cdot0 + 1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

ABとBAを比較すると、$AB \ne BA$です。

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ の場合

まず、ABを計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + 2\cdot0 & 2\cdot0 + 2\cdot3 \\ -1\cdot3 + 2\cdot0 & -1\cdot0 + 2\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$

次に、BAを計算します。

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 0\cdot(-1) & 3\cdot2 + 0\cdot2 \\ 0\cdot2 + 3\cdot(-1) & 0\cdot2 + 3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$

ABとBAを比較すると、$AB = BA$です。

3. 最終的な答え

(1) $AB \ne BA$

(2) $AB = BA$