与えられた条件 $f'(0) = -4$、$f'(2) = 0$、$f(0) = 8$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件 $f'(0) = -4$、$f'(2) = 0$、$f(0) = 8$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を2次関数なので、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2ax + b$

条件 $f'(0) = -4$ より、

$f'(0) = 2a(0) + b = b = -4$

したがって、$b = -4$

条件 $f'(2) = 0$ より、

$f'(2) = 2a(2) + b = 4a + b = 0$

$b = -4$ を代入して、

$4a - 4 = 0$

$4a = 4$

$a = 1$

条件 $f(0) = 8$ より、

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 8$

したがって、$c = 8$

$a = 1$、$b = -4$、$c = 8$ を $f(x) = ax^2 + bx + c$ に代入して、

$f(x) = x^2 - 4x + 8$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 - 4x + 8$