与えられた3x3行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する。

2. 解き方の手順

行列を対角化するためには、以下の手順を踏みます。

(1) 固有値を求める。

$A$ の固有値 $\lambda$ を求めるには、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解く必要があります。ここで、$I$は3x3の単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 & 3 \\ -1 & 1-\lambda & -1 \\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)((1-\lambda)^2 + 1) - 1(-(1-\lambda) + 2) + 3(-1 - 2(1-\lambda))$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda + 2) - (1-\lambda) - 1 + 3(-3+2\lambda)$

$= 2\lambda^2 - 4\lambda + 4 - \lambda^3 + 2\lambda^2 - 2\lambda + \lambda - 2 - 1 + \lambda - 9 + 6\lambda$

$= -\lambda^3 + 4\lambda^2 + 2\lambda - 8 = 0$

$\lambda^3 - 4\lambda^2 - 2\lambda + 8 = 0$

$(\lambda - 4)(\lambda^2 - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = \sqrt{2}, \lambda_3 = -\sqrt{2}$ です。

(2) 固有ベクトルを求める。

各固有値に対して、対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 4$ のとき、 $(A - 4I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\ -1 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-2x + y + 3z = 0$

$-x - 3y - z = 0$

$2x + y - 3z = 0$

これらの連立方程式を解くと、$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2/3 \end{bmatrix}$ となります。定数倍は任意なので、$v_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$とします。

$\lambda_2 = \sqrt{2}$ のとき、 $(A - \sqrt{2}I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 2-\sqrt{2} & 1 & 3 \\ -1 & 1-\sqrt{2} & -1 \\ 2 & 1 & 1-\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$(2-\sqrt{2})x + y + 3z = 0$

$-x + (1-\sqrt{2})y - z = 0$

$2x + y + (1-\sqrt{2})z = 0$

連立方程式を解くと、$v_2 = \begin{bmatrix} -4 + 3\sqrt{2} \\ -5 + 4\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix}$となります。

$\lambda_3 = -\sqrt{2}$ のとき、 $(A + \sqrt{2}I)v_3 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 2+\sqrt{2} & 1 & 3 \\ -1 & 1+\sqrt{2} & -1 \\ 2 & 1 & 1+\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$(2+\sqrt{2})x + y + 3z = 0$

$-x + (1+\sqrt{2})y - z = 0$

$2x + y + (1+\sqrt{2})z = 0$

連立方程式を解くと、$v_3 = \begin{bmatrix} -4 - 3\sqrt{2} \\ -5 - 4\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix}$となります。

(3) 対角化する。

$P = \begin{bmatrix} 3 & -4 + 3\sqrt{2} & -4 - 3\sqrt{2} \\ 0 & -5 + 4\sqrt{2} & -5 - 4\sqrt{2} \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{2} \end{bmatrix}$

$A = PDP^{-1}$ となります。

3. 最終的な答え

$P = \begin{bmatrix} 3 & -4 + 3\sqrt{2} & -4 - 3\sqrt{2} \\ 0 & -5 + 4\sqrt{2} & -5 - 4\sqrt{2} \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{2} \end{bmatrix}$