与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求める問題です。逆行列が存在しない場合は「なし」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求める問題です。逆行列が存在しない場合は「なし」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - (-6)(-3 \cdot 1 - 1 \cdot (-3)) + 0(-3 \cdot 3 - 2 \cdot (-3))$

$\det(A) = 1(2 - 3) + 6(-3 + 3) + 0(-9 + 6)$

$\det(A) = 1(-1) + 6(0) + 0(-3)$

$\det(A) = -1$

行列式が $-1$ であるため、逆行列は存在します。

次に、余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -(-3 + 3) = 0$

$C_{13} = \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = -9 + 6 = -3$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(-6 - 0) = 6$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -6 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 18) = 15$

$C_{31} = \begin{vmatrix} -6 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -6 - 0 = -6$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -6 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 18 = -16$

よって、余因子行列 $C$ は

$C = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -3 \\ 6 & 1 & 15 \\ -6 & -1 & -16 \end{bmatrix}$

次に、$C$ の転置行列（余因子行列の転置）$C^T$ を計算します。

$C^T = \begin{bmatrix} -1 & 6 & -6 \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 15 & -16 \end{bmatrix}$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T$

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & 6 & -6 \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 15 & -16 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 6 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & -15 & 16 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 1 & -6 & 6 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & -15 & 16 \end{bmatrix}$