行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ の固有値と固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ の固有値と固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、固有方程式を解いて固有値を求める。固有方程式は $det(A - \lambda I) = 0$ で与えられる。ここで、$I$は単位行列、$\lambda$は固有値である。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 5 & -3 - \lambda \end{bmatrix}$

$det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(-3 - \lambda) - (-1)(5) = 0$

$-9 - 3\lambda + 3\lambda + \lambda^2 + 5 = 0$

$\lambda^2 - 4 = 0$

$(\lambda - 2)(\lambda + 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = -2$ である。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ を求める。

$A - 2I = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x - y = 0$

$5x - 5y = 0$

$x = y$ なので、$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ は固有ベクトルの一つである。

$\lambda_2 = -2$ のとき、$(A - (-2)I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ を求める。

$A + 2I = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$5x - y = 0$

$y = 5x$

したがって、$v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ は固有ベクトルの一つである。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -2$

固有ベクトル:

$\lambda_1 = 2$ に対応する固有ベクトル: $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_2 = -2$ に対応する固有ベクトル: $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}$