$x = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $x+y$、$xy$ (2) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $x+y$、$xy$

(2) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1) まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

次に、$x+y$を計算する。

$x+y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

次に、$xy$を計算する。

$xy = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{4} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $x^2+y^2$を求めるために、$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$の式を変形して、$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$とする。

$x+y = \sqrt{7}$、$xy = \frac{1}{2}$より、

$x^2+y^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{7}$, $xy = \frac{1}{2}$

(2) $x^2+y^2 = 6$