問題は、1桁の正の整数を係数とする2次関数 $F(x) = ax^2 - bx + c$ と $G(x) = px^2 - qx + r$ が与えられ、以下の条件を満たすとき、それぞれの問いに答える問題です。 (i) $F(1) = F(2) = G(3) = 0$ (ii) $a, b, c$ はすべて異なり、2以上の公約数をもたない (iii) $p, q, r$ はすべて異なり、2以上の公約数をもたない (1) $F(x)$ を求めよ。 (2) $G(x)$ は何通りあるか。また、定数項が最大の $G(x)$ を求めよ。 (3) $y = G(x)$ のグラフで頂点のy座標が最小の $G(x)$ を求めよ。 (4) 不等式 $G(x) < F(x)$ の解が $(42) - \sqrt{(43)} < x < (42) + \sqrt{(43)}$ となるのは、$G(x)$ がどのようなときか求めよ。

1. 問題の内容

問題は、1桁の正の整数を係数とする2次関数 $F(x) = ax^2 - bx + c$ と $G(x) = px^2 - qx + r$ が与えられ、以下の条件を満たすとき、それぞれの問いに答える問題です。

(i) $F(1) = F(2) = G(3) = 0$

(ii) $a, b, c$ はすべて異なり、2以上の公約数をもたない

(iii) $p, q, r$ はすべて異なり、2以上の公約数をもたない

(1) $F(x)$ を求めよ。

(2) $G(x)$ は何通りあるか。また、定数項が最大の $G(x)$ を求めよ。

(3) $y = G(x)$ のグラフで頂点のy座標が最小の $G(x)$ を求めよ。

(4) 不等式 $G(x) < F(x)$ の解が $(42) - \sqrt{(43)} < x < (42) + \sqrt{(43)}$ となるのは、$G(x)$ がどのようなときか求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $F(1) = a - b + c = 0$ かつ $F(2) = 4a - 2b + c = 0$。

2つの式を引き算すると $3a - b = 0$ より $b = 3a$。

$a - 3a + c = 0$ より $c = 2a$。

$a, b, c$ は全て異なり、2以上の公約数を持たないため、$a=1, b=3, c=2$ が適切。

よって、$F(x) = x^2 - 3x + 2$。

(2) $G(3) = 9p - 3q + r = 0$ より $r = 3q - 9p$。

$p, q, r$ は全て異なり、2以上の公約数を持たない。

$1 \le p, q, r \le 9$ を満たす必要がある。

$r = 3(q-3p)$ なので、$r$ は3の倍数。

$q > 3p$ が必要。$q = 4, 5, 6, 7, 8, 9$ の場合を考えると、

- $p=1$ のとき $q=4,5,7,8$ で、$r=3,6$ が得られる。

- $p=2$ のとき $q=7,8,9$ で、$r=3,6$ が得られる。

(i) $p=1$ のとき

- $q=4$ ならば $r=3$. よって $G(x) = x^2 - 4x + 3$。

- $q=5$ ならば $r=6$. よって $G(x) = x^2 - 5x + 6$。

- $q=7$ ならば $r=12$ で不適。

- $q=8$ ならば $r=15$ で不適。

(ii) $p=2$ のとき

- $q=7$ ならば $r=3$. よって $G(x) = 2x^2 - 7x + 3$。

- $q=8$ ならば $r=6$. よって $G(x) = 2x^2 - 8x + 6$。

- $q=9$ ならば $r=9$ となり、$q$と$r$が異なるという条件に反する。

これらの条件を満たすのは、$G(x) = x^2 - 4x + 3$, $G(x) = x^2 - 5x + 6$, $G(x) = 2x^2 - 7x + 3$, $G(x) = 2x^2 - 8x + 6$ の4通り。

定数項が最大のものは $G(x) = x^2 - 5x + 6$ または $G(x) = 2x^2 - 8x + 6$。$G(x)=2x^2-8x+6$

(3) $G(x)=px^2-qx+r$ の頂点のy座標は $y=-\frac{q^2-4pr}{4p}$. 頂点のy座標が最小になるということは、$q^2-4pr$ が最大になるということ。

$G(x)=x^2-4x+3$, $y=-\frac{16-12}{4}=-1$

$G(x)=x^2-5x+6$, $y=-\frac{25-24}{4}=-\frac{1}{4}$

$G(x)=2x^2-7x+3$, $y=-\frac{49-24}{8}=-\frac{25}{8}$

$G(x)=2x^2-8x+6$, $y=-\frac{64-48}{8}=-2$

$G(x) = 2x^2 - 8x + 6$ のとき頂点のy座標が最小。

(4) $G(x) < F(x)$ の解が $(42) - \sqrt{(43)} < x < (42) + \sqrt{(43)}$ となる。

$F(x) = x^2 - 3x + 2$

$G(x) = px^2 - qx + r$

$F(x) - G(x) = (1-p)x^2 - (3-q)x + (2-r) > 0$

解の形から、$1-p < 0$, つまり $p>1$.

$p=2$ のとき、$F(x)-G(x) = -x^2-(3-q)x+(2-r)>0$

$x^2+(3-q)x+(r-2)<0$

解が $(42) - \sqrt{(43)} < x < (42) + \sqrt{(43)}$ であるので、解の和が $2*(42)$、解の積が $(42)^2 - (43)$。

解の和: $-(3-q) = 2 * (42)$

解の積: $r-2 = (42)^2 - (43)$

$G(x)=2x^2-7x+3$ のとき、

$x^2-4x+1<0$ を解くと、 $2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}$ となるので、$42=2$, $43=3$.

このとき、$G(x)=2x^2-7x+3$

3. 最終的な答え

(1) $F(x) = x^2 - 3x + 2$

(2) 4通り。$G(x) = 2x^2 - 8x + 6$

(3) $G(x) = 2x^2 - 8x + 6$

(4) $G(x) = 2x^2 - 7x + 3$