2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ について、以下の問いに答える。ただし、$a \geq 0$ である。 (1) $a=2$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) (1) のとき、$0 < x < 6$ における $y$ のとりうる値の範囲を求める。 (3) $0 \leq x \leq 6$ における $f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ について、以下の問いに答える。ただし、$a \geq 0$ である。

(1) $a=2$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) (1) のとき、$0 < x < 6$ における $y$ のとりうる値の範囲を求める。

(3) $0 \leq x \leq 6$ における $f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 2$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 4$ となる。

$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

頂点の座標は $(2, 0)$ となる。

(2) (1) より、$f(x) = (x-2)^2$ である。定義域は $0 < x < 6$ である。

$x = 2$ で最小値 $0$ をとる。

$x$ が $6$ に近づくとき、$f(x)$ は最大値に近づく。

$f(6) = (6-2)^2 = 4^2 = 16$

したがって、$0 \leq y < 16$ である。

(3) $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2 = (x-a)^2 - a^2 + a + 2$

頂点の座標は $(a, -a^2 + a + 2)$

定義域は $0 \leq x \leq 6$ である。

場合分けをする。

(i) $0 \leq a \leq 6$ のとき、頂点が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとる。

最小値は $f(a) = -a^2 + a + 2$ である。

(ii) $a > 6$ のとき、定義域の左端で最小値をとる。

$f(0) = a + 2$ である。

(iii) $a < 0$ のとき、定義域の右端で最小値をとる。

$f(6) = 36 - 12a + a + 2 = 38 - 11a$ である。

しかし、$a \geq 0$ という条件があるので、(iii)は起こりえない。

$0 \leq a \leq 6$ のとき、最小値は $f(a) = -a^2 + a + 2$

$a > 6$ のとき、最小値は $f(0) = a + 2$

3. 最終的な答え

(1) $(2, 0)$

(2) $0 \leq y < 16$

(3)

$0 \leq a \leq 6$ のとき、$-a^2 + a + 2$

$a > 6$ のとき、$a + 2$