不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 解が $x < 1$ となるような定数 $a$ の値を求めます。 (2) 解が $x = 0$ を含むような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が $0$ となるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 解が $x < 1$ となるような定数 $a$ の値を求めます。

(2) 解が $x = 0$ を含むような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が $0$ となるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2x - 3 > a + 8x$ を変形して $x$ について解きます。

$2x - 3 > a + 8x$

$-6x > a + 3$

$x < -\frac{a+3}{6}$

(1) 解が $x < 1$ となるように $a$ の値を求めます。

$-\frac{a+3}{6} = 1$

$a + 3 = -6$

$a = -9$

(2) 解が $x = 0$ を含むように $a$ の範囲を求めます。

$x < -\frac{a+3}{6}$ で $x = 0$ が解に含まれるということは、$0 < -\frac{a+3}{6}$ が成り立つということです。

$0 < -\frac{a+3}{6}$

$0 > \frac{a+3}{6}$

$0 > a + 3$

$a < -3$

(3) 不等式を満たす $x$ のうち最大の整数が $0$ となるように $a$ の範囲を求めます。

$x < -\frac{a+3}{6}$ を満たす最大の整数が $0$ であるとき、$0$ はこの不等式を満たし、$1$ は満たさない必要があります。

したがって、$0 < -\frac{a+3}{6} \le 1$ ということになります。

$0 < -\frac{a+3}{6} \le 1$ より、それぞれを計算します。

$0 < -\frac{a+3}{6}$ より、$0 > a+3$ となり、$a < -3$ となります。

$-\frac{a+3}{6} \le 1$ より、$-a-3 \le 6$ となり、$-a \le 9$ で、$a \ge -9$ となります。

したがって、$-9 \le a < -3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = -9$

(2) $a < -3$

(3) $-9 \le a < -3$