問題文は、与えられた関数の定義域と値域の条件から、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。 (1) 関数 $y = 3x + b$ ($a \le x \le 4$) の値域が $1 \le y \le 19$ である。 (2) 関数 $y = ax + b$ ($1 \le x \le 3$) の値域が $0 \le y \le 1$ である。ただし、$a < 0$ とする。 (3) 関数 $y = ax + b$ ($1 < x \le 3$) の値域が $1 \le y < 5$ である。 (4) 関数 $y = ax + b$ ($0 \le x \le 2$) の値域が $-2 \le y \le 4$ である。

1. 問題の内容

問題文は、与えられた関数の定義域と値域の条件から、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

(1) 関数 $y = 3x + b$ ($a \le x \le 4$) の値域が $1 \le y \le 19$ である。

(2) 関数 $y = ax + b$ ($1 \le x \le 3$) の値域が $0 \le y \le 1$ である。ただし、$a < 0$ とする。

(3) 関数 $y = ax + b$ ($1 < x \le 3$) の値域が $1 \le y < 5$ である。

(4) 関数 $y = ax + b$ ($0 \le x \le 2$) の値域が $-2 \le y \le 4$ である。

2. 解き方の手順

(1)

$y = 3x + b$ は $x$ が増加すると $y$ も増加する関数(傾きが正)なので、$x=a$ のとき $y=1$、$x=4$ のとき $y=19$ となる。

$x=4$ のとき $y=19$ より、

$19 = 3(4) + b$

$19 = 12 + b$

$b = 7$

$x=a$ のとき $y=1$ より、

$1 = 3a + 7$

$3a = -6$

$a = -2$

(2)

$y = ax + b$ は $a < 0$ より $x$ が増加すると $y$ は減少する関数なので、$x=1$ のとき $y=1$、$x=3$ のとき $y=0$ となる。

$x=1$ のとき $y=1$ より、

$1 = a + b$

$x=3$ のとき $y=0$ より、

$0 = 3a + b$

連立方程式を解く。$b = 1 - a$ を $0 = 3a + b$ に代入して、

$0 = 3a + (1 - a)$

$0 = 2a + 1$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

(3)

$y = ax + b$ の定義域は $1 < x \le 3$ であり、値域は $1 \le y < 5$ である。

$x=3$ のとき $y=1$ となり、$x$ が大きくなると、$y$ は小さくなる関数なので、$a<0$である。

$x=3$のとき $y=1$ より、

$1=3a+b$

$x=1$のとき$y=5$となると仮定すると、

$5=a+b$

上の２つの式から$a$と$b$を求めると、

$4=-2a$

$a=-2$

$b=5-a=5-(-2)=7$

$x=1$のとき、$y=5$にならないので、$a<0$ではない。

値域が $1 \le y < 5$ なので、定義域 $1 < x \le 3$ から、$x=3$のとき、$y=1$ となり、$x$が1に近づくときに、$y$が5に近づく。

$x$が1より少し大きいとき、$y$は5より少し小さくなくてはならない。

$x=3$のとき $y=1$ より、$1=3a+b$

$x=1$のとき $y=5$ より、$5=a+b$

これを解くと、$a=-2, b=7$

(4)

$y = ax + b$ の定義域は $0 \le x \le 2$ であり、値域は $-2 \le y \le 4$ である。

i) $a>0$のとき

$x=0$のとき$y=-2$より、

$-2=a\cdot0+b$

$b=-2$

$x=2$のとき$y=4$より、

$4=a\cdot2+b$

$4=2a-2$

$2a=6$

$a=3$

ii) $a<0$のとき

$x=0$のとき$y=4$より、

$4=a\cdot0+b$

$b=4$

$x=2$のとき$y=-2$より、

$-2=a\cdot2+b$

$-2=2a+4$

$2a=-6$

$a=-3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$, $b = 7$

(2) $a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{3}{2}$

(3) $a = -2$, $b = 7$

(4) $a = 3$, $b = -2$ または $a = -3$, $b = 4$