問題6： (1) 初項が1、公比が5の等比数列の一般項 $a_n$ と第5項 $a_5$ を求めます。 (2) 等比数列 -2, 6, -18, 54,... の一般項 $a_n$ と第5項 $a_5$ を求めます。 問題7： 第3項が12、第5項が48である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。ただし、初項を$a$、公比を$r$とします。 問題8： 3つの数 3, x, 12 がこの順で等比数列であるとき、xの値を求めます。

1. 問題の内容

問題6：

(1) 初項が1、公比が5の等比数列の一般項 $a_n$ と第5項 $a_5$ を求めます。

(2) 等比数列 -2, 6, -18, 54,... の一般項 $a_n$ と第5項 $a_5$ を求めます。

問題7：

第3項が12、第5項が48である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。ただし、初項を$a$、公比を$r$とします。

問題8：

3つの数 3, x, 12 がこの順で等比数列であるとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

問題6：

(1)

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で表されます。

ここで、初項 $a = 1$、公比 $r = 5$ なので、一般項は

$a_n = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$

第5項は $a_5 = 5^{5-1} = 5^4 = 625$

(2)

初項 $a = -2$

公比 $r = 6 / (-2) = -3$

一般項は $a_n = -2 \cdot (-3)^{n-1}$

第5項は $a_5 = -2 \cdot (-3)^{5-1} = -2 \cdot (-3)^4 = -2 \cdot 81 = -162$

問題7：

初項を $a$、公比を $r$ とすると、

第3項 $a_3 = a r^2 = 12$ (1)

第5項 $a_5 = a r^4 = 48$ (2)

(2) ÷ (1) より、

$r^2 = 48 / 12 = 4$

$r = \pm 2$

$r = 2$ のとき、(1)より $a \cdot 2^2 = 12$ なので $a = 12 / 4 = 3$

一般項は $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

$r = -2$ のとき、(1)より $a \cdot (-2)^2 = 12$ なので $a = 12 / 4 = 3$

一般項は $a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

問題8：

3, x, 12 が等比数列なので、

$\frac{x}{3} = \frac{12}{x}$

$x^2 = 3 \cdot 12 = 36$

$x = \pm 6$

3. 最終的な答え

問題6：

(1) $a_n = 5^{n-1}$, $a_5 = 625$

(2) $a_n = -2 \cdot (-3)^{n-1}$, $a_5 = -162$

問題7：

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

問題8：

$x = \pm 6$