等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が-1、第8項が14であるとき、この数列の一般項を求め、さらに、この数列の初項から第200項までの和を求める。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が-1、第8項が14であるとき、この数列の一般項を求め、さらに、この数列の初項から第200項までの和を求める。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

第3項が-1なので、$a_3 = a + 2d = -1$。

第8項が14なので、$a_8 = a + 7d = 14$。

二つの式を連立させて、$a$ と $d$ を求める。

$a + 7d = 14$

$a + 2d = -1$

上記の二つの式を引き算すると、$5d = 15$ となるので、$d = 3$。

$d = 3$ を $a + 2d = -1$ に代入すると、$a + 2(3) = -1$ より $a = -7$。

よって、一般項は $a_n = -7 + (n-1)3 = -7 + 3n - 3 = 3n - 10$。

初項から第200項までの和 $S_{200}$ は、等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ を用いて計算する。

$a_1 = 3(1) - 10 = -7$

$a_{200} = 3(200) - 10 = 600 - 10 = 590$

$S_{200} = \frac{200}{2}(-7 + 590) = 100(583) = 58300$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = 3n - 10$

初項から第200項までの和: $S_{200} = 58300$