問題54の(1)と(3)の不等式を証明する問題です。ただし、$a > 0$, $b > 0$ という条件があります。 (1) $a + \frac{16}{a} \ge ?$ (3) $\frac{3}{a+b} + 3a + 3b \ge 6$

1. 問題の内容

問題54の(1)と(3)の不等式を証明する問題です。ただし、$a > 0$, $b > 0$ という条件があります。

(1) $a + \frac{16}{a} \ge ?$

(3) $\frac{3}{a+b} + 3a + 3b \ge 6$

2. 解き方の手順

(1) 相加平均・相乗平均の関係を利用します。$a>0$ より、$a$ と $\frac{16}{a}$ は正の数なので、相加平均・相乗平均の関係が使えます。

相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{a + \frac{16}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{16}{a}}$

$\frac{a + \frac{16}{a}}{2} \ge \sqrt{16}$

$\frac{a + \frac{16}{a}}{2} \ge 4$

$a + \frac{16}{a} \ge 8$

等号が成立するのは、$a = \frac{16}{a}$ のとき。すなわち、$a^2 = 16$ より $a = 4$ (a>0より)。

(3) $a+b > 0$ なので、$\frac{3}{a+b} > 0$ かつ $3a + 3b > 0$ です。

$\frac{3}{a+b} + 3(a+b) \ge 2 \sqrt{\frac{3}{a+b} \cdot 3(a+b)}$

$\frac{3}{a+b} + 3(a+b) \ge 2\sqrt{9}$

$\frac{3}{a+b} + 3(a+b) \ge 2 \cdot 3$

$\frac{3}{a+b} + 3(a+b) \ge 6$

よって、与えられた不等式は成立します。

等号が成立するのは、$\frac{3}{a+b} = 3(a+b)$ のとき。すなわち、$(a+b)^2 = 1$ より、$a+b = 1$ ($a,b > 0$より、$a+b>0$)。

$3a + 3b \ge 0$

3. 最終的な答え

(1) $a + \frac{16}{a} \ge 8$

等号成立は $a=4$ のとき。

(3) $\frac{3}{a+b} + 3a + 3b \ge 6$

等号成立は $a+b=1$ のとき。