$a$を定数とするとき、次の方程式・不等式を解く。 (1) $ax = 1$ (2) $ax \leq 2$ (3) $ax + 6 > 3x + 2a$

1. 問題の内容

$a$を定数とするとき、次の方程式・不等式を解く。

(1) $ax = 1$

(2) $ax \leq 2$

(3) $ax + 6 > 3x + 2a$

2. 解き方の手順

(1) $ax = 1$ を解く。

(i) $a > 0$ のとき、両辺を$a$で割って、$x = \frac{1}{a}$

(ii) $a = 0$ のとき、$0x = 1$ となり、これを満たす$x$は存在しないので、解なし。

(iii) $a < 0$ のとき、両辺を$a$で割って、$x = \frac{1}{a}$

(2) $ax \leq 2$ を解く。

(i) $a > 0$ のとき、両辺を$a$で割って、$x \leq \frac{2}{a}$

(ii) $a = 0$ のとき、$0x \leq 2$ となり、すべての実数$x$が解。

(iii) $a < 0$ のとき、両辺を$a$で割って、$x \geq \frac{2}{a}$

(3) $ax + 6 > 3x + 2a$ を解く。

$ax + 6 > 3x + 2a$

$ax - 3x > 2a - 6$

$(a-3)x > 2(a-3)$

(i) $a - 3 > 0$ すなわち $a > 3$ のとき、$x > \frac{2(a-3)}{a-3}$ より、$x > 2$

(ii) $a - 3 = 0$ すなわち $a = 3$ のとき、$0x > 0$ となり、これを満たす$x$は存在しないので、解なし。

(iii) $a - 3 < 0$ すなわち $a < 3$ のとき、$x < \frac{2(a-3)}{a-3}$ より、$x < 2$

3. 最終的な答え

(1) $ax = 1$

$a > 0$ のとき、$x = \frac{1}{a}$

$a = 0$ のとき、解なし

$a < 0$ のとき、$x = \frac{1}{a}$

(2) $ax \leq 2$

$a > 0$ のとき、$x \leq \frac{2}{a}$

$a = 0$ のとき、すべての実数

$a < 0$ のとき、$x \geq \frac{2}{a}$

(3) $ax + 6 > 3x + 2a$

$a > 3$ のとき、$x > 2$

$a = 3$ のとき、解なし

$a < 3$ のとき、$x < 2$