$a>0, b>0$ のとき、不等式 $3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$ を証明する。

1. 問題の内容

$a>0, b>0$ のとき、不等式 $3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、両辺が正であることから、両辺を2乗して不等式を評価する。

$(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 > (\sqrt{9a+4b})^2$

左辺を展開すると、

$(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 = (3\sqrt{a})^2 + 2(3\sqrt{a})(2\sqrt{b}) + (2\sqrt{b})^2 = 9a + 12\sqrt{ab} + 4b$

右辺は、

$(\sqrt{9a+4b})^2 = 9a + 4b$

したがって、証明すべき不等式は、

$9a + 12\sqrt{ab} + 4b > 9a + 4b$

となる。両辺から $9a+4b$ を引くと、

$12\sqrt{ab} > 0$

となる。$a>0, b>0$ より $\sqrt{ab} > 0$ であるから、$12\sqrt{ab} > 0$ は常に成り立つ。

したがって、$9a + 12\sqrt{ab} + 4b > 9a + 4b$ が成り立つので、$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$ は証明された。