$y = 3\sin x + \cos x$ を $y = \sqrt{\text{ア}}\sin(x + \tan^{-1}\frac{\text{イ}}{\text{ウ}})$ の形に変形し、ア、イ、ウに当てはまる適切な整数を求める。ただし、$\sqrt{\text{ア}} > 0$、$-\pi < \tan^{-1}\frac{\text{イ}}{\text{ウ}} \le \pi$であり、分数で答える場合は既約分数とする。

1. 問題の内容

$y = 3\sin x + \cos x$ を $y = \sqrt{\text{ア}}\sin(x + \tan^{-1}\frac{\text{イ}}{\text{ウ}})$ の形に変形し、ア、イ、ウに当てはまる適切な整数を求める。ただし、$\sqrt{\text{ア}} > 0$、$-\pi < \tan^{-1}\frac{\text{イ}}{\text{ウ}} \le \pi$であり、分数で答える場合は既約分数とする。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行う。

$y = 3\sin x + \cos x = \sqrt{3^2 + 1^2}\sin(x + \alpha) = \sqrt{10}\sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$。

したがって、$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/ \sqrt{10}}{3/ \sqrt{10}} = \frac{1}{3}$。

よって、$\alpha = \tan^{-1}\frac{1}{3}$。

$y = \sqrt{10}\sin(x + \tan^{-1}\frac{1}{3})$。

したがって、ア = 10, イ = 1, ウ = 3。

3. 最終的な答え

ア = 10

イ = 1

ウ = 3