$a$ を定数とする。 $-5 \le x \le -3$ において、関数 $y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$ の最小値を、$a \le -2$、 $-2 \le a \le -1$、$-1 \le a$ のそれぞれの場合について求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。 $-5 \le x \le -3$ において、関数 $y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$ の最小値を、$a \le -2$、 $-2 \le a \le -1$、$-1 \le a$ のそれぞれの場合について求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$

$y = x^2 + (2 - 4a)x + 4a^2 - 4a$

$y = (x + 1 - 2a)^2 - (1 - 2a)^2 + 4a^2 - 4a$

$y = (x + 1 - 2a)^2 - (1 - 4a + 4a^2) + 4a^2 - 4a$

$y = (x - (2a - 1))^2 - 1$

したがって、この放物線の軸は $x = 2a - 1$ である。定義域 $-5 \le x \le -3$ における最小値を求める。

(i) $a \le -2$ のとき：

$2a - 1 \le -5$ であるから、軸は定義域よりも左にある。したがって、$x = -3$ で最小値をとる。

$y = (-3)^2 - 4a(-3) + 2(-3) + 4a^2 - 4a = 9 + 12a - 6 + 4a^2 - 4a = 4a^2 + 8a + 3$

(ii) $-2 \le a \le -1$ のとき：

$-5 \le 2a - 1 \le -3$ であるから、軸は定義域内にある。したがって、$x = 2a - 1$ で最小値をとる。

$y = -1$

(iii) $-1 \le a$ のとき：

$-3 \le 2a - 1$ であるから、軸は定義域よりも右にある。したがって、$x = -5$ で最小値をとる。

$y = (-5)^2 - 4a(-5) + 2(-5) + 4a^2 - 4a = 25 + 20a - 10 + 4a^2 - 4a = 4a^2 + 16a + 15$

3. 最終的な答え

$a \le -2$ のとき、$4a^2 + 8a + 3$

$-2 \le a \le -1$ のとき、$-1$

$-1 \le a$ のとき、$4a^2 + 16a + 15$