$y = \sin(x+\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}\cos(x-\frac{\pi}{6})$を、$y = \sqrt{[カ]}\sin(x + \tan^{-1}\frac{[キ]}{\sqrt{[カ]}})$の形に変形したときの、$[カ]$と$[キ]$に入る整数値を求める問題です。ただし、$\sqrt{[カ]}>0$、$-\pi < \tan^{-1}\frac{[キ]}{\sqrt{[カ]}} \le \pi$を満たし、分数の場合は既約分数で答える必要があります。

1. 問題の内容

$y = \sin(x+\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}\cos(x-\frac{\pi}{6})$を、$y = \sqrt{[カ]}\sin(x + \tan^{-1}\frac{[キ]}{\sqrt{[カ]}})$の形に変形したときの、$[カ]$と$[キ]$に入る整数値を求める問題です。ただし、$\sqrt{[カ]}>0$、$-\pi < \tan^{-1}\frac{[キ]}{\sqrt{[カ]}} \le \pi$を満たし、分数の場合は既約分数で答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin(x+\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}\cos(x-\frac{\pi}{6})$を展開します。

$\sin(x+\frac{\pi}{6}) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$

$\cos(x-\frac{\pi}{6}) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$

したがって、

$y = (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x) + \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x)$

$= \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x + \frac{3}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$

$= \sqrt{3}\sin x + 2\cos x$

次に、この式を$R\sin(x+\alpha)$の形に変形します。

$R\sin(x+\alpha) = R(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = (R\cos \alpha)\sin x + (R\sin \alpha)\cos x$

これを$\sqrt{3}\sin x + 2\cos x$と比較すると、

$R\cos \alpha = \sqrt{3}$

$R\sin \alpha = 2$

両辺を二乗して足し合わせると、

$R^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = (\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7$

$R^2 = 7$

$R = \sqrt{7}$ （$\sqrt{[カ]}>0$より、$R>0$）

したがって、$R = \sqrt{7}$なので、$[カ] = 7$です。

次に、$\tan \alpha = \frac{R\sin \alpha}{R\cos \alpha} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\alpha = \tan^{-1}\frac{2}{\sqrt{3}}$

よって、$y = \sqrt{7}\sin(x + \tan^{-1}\frac{2}{\sqrt{3}})$となるので、$[キ]=2$です。

3. 最終的な答え

$[カ]=7$

$[キ]=2$