$a + b + c = 0$ のとき、等式 $ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = 0$ を証明する。

## 問題55

1. 問題の内容

$a + b + c = 0$ のとき、等式 $ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $a + b + c = 0$ から、$a + b = -c$, $b + c = -a$, $c + a = -b$ が導かれる。

これらの関係式を等式の左辺に代入して、式を整理する。

左辺 = $ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2$

$= ab(-c)^2 + bc(-a)^2 + ca(-b)^2$

$= abc^2 + bca^2 + cab^2$

$= abc(c + a + b)$

$a+b+c = 0$ であるから、

$abc(c + a + b) = abc(0) = 0$

したがって、左辺 = 0となり、与えられた等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

$a + b + c = 0$ のとき、$ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = 0$ は成り立つ。

## 問題56

1. 問題の内容

$x > 3$, $y > -1$ のとき、不等式 $xy - 3 > 3y - x$ を証明する。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の両辺を整理し、因数分解可能な形に変形する。

$xy - 3 > 3y - x$

$xy + x - 3y - 3 > 0$

$x(y + 1) - 3(y + 1) > 0$

$(x - 3)(y + 1) > 0$

ここで、$x > 3$ より $x - 3 > 0$ であり、$y > -1$ より $y + 1 > 0$ である。

したがって、$(x - 3)(y + 1) > 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$x > 3$, $y > -1$ のとき、$xy - 3 > 3y - x$ は成り立つ。