$a, b, c, x, y, z$ が実数のとき、次の不等式を証明する問題です。 $(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (ax + by + cz)^2$

1. 問題の内容

$a, b, c, x, y, z$ が実数のとき、次の不等式を証明する問題です。

$(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (ax + by + cz)^2$

2. 解き方の手順

コーシー・シュワルツの不等式を利用します。

コーシー・シュワルツの不等式は、任意の実数 $a_i, b_i$ に対して、次が成り立つというものです。

$(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2$

この問題では、$n=3$ の場合を考え、$a_1 = a, a_2 = b, a_3 = c, b_1 = x, b_2 = y, b_3 = z$ とすると、コーシー・シュワルツの不等式は次のようになります。

$(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (ax + by + cz)^2$

これは、まさに証明すべき不等式です。

3. 最終的な答え

$(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (ax + by + cz)^2$

（証明終わり）