与えられた繁分数を簡約化する問題です。 $$\frac{\frac{1}{x-1} + 1}{\frac{1}{x+1} - 1}$$

1. 問題の内容

与えられた繁分数を簡約化する問題です。

$$\frac{\frac{1}{x-1} + 1}{\frac{1}{x+1} - 1}$$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ整理します。

分子：

$$\frac{1}{x-1} + 1 = \frac{1}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} = \frac{1 + (x-1)}{x-1} = \frac{x}{x-1}$$

分母：

$$\frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} = \frac{1 - (x+1)}{x+1} = \frac{1 - x - 1}{x+1} = \frac{-x}{x+1}$$

したがって、与えられた繁分数は次のように書き換えられます。

$$\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{-x}{x+1}} = \frac{x}{x-1} \div \frac{-x}{x+1} = \frac{x}{x-1} \times \frac{x+1}{-x} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(-x)}$$

$x \neq 0$ の場合、分子と分母から $x$ を約分できます。

$$\frac{x(x+1)}{(x-1)(-x)} = \frac{x+1}{-(x-1)} = \frac{x+1}{-x+1} = -\frac{x+1}{x-1}$$

最終的な答えは $-\frac{x+1}{x-1}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{x+1}{x-1}$